PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)  donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces    = 0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c entonces

INTENTE DEMOSTRAR LAS PROPIEDADES ENUNCIADAS

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CONSERVACIÓN DE DESIGUALDADES

* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x) ³ 0 entonces representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

* Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con f(x) ³ g(x) para todo x en [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x) ³ g(x) podemos asegurar que f(x) - g(x) ³ 0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aquí -³ 0 y de esta manera .

Supongamos que m y M son constantes tales que m £ f(x) £ M para a £ x £ b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la recta y = m    y   la recta   y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:

* Si f es integrable y   m £ f(x) £ M   para   a £ x £ b   entonces     m (b - a) £ £ M (b - a).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f(x) ³ 0)

Si y = f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M.

En general dado que m £ f(x) £ M podemos asegurar, por la propiedad anterior que

.

Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta m (b - a) £ £ M (b - a).

SIMETRÍA

El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.

Sea f una función continua sobre el intervalo [–a, a]

a) Si f es par .

b) Si f es impar .

Demostración: tenemos en cuenta que a  la podemos descomponer en dos nuevas integrales

 = + 

= + 

En la primera integral sustituimos u = –x Þ du = –dx, además si x = –a Þ u = a.

 =     con esto la ecuación original resulta:

= 

En el caso a) si la función es par f(–u) = f(u) entonces

= = 

Mientras que en el caso b) si la función es impar f(–u) = – f(u)

=  = 0.

Ejemplo: Sabiendo que , calcule las siguientes integrales.

a)            b)          c)          d) 

Utilizando propiedades de las integrales resulta:

a) Como x² es una función par: =  = 

b) Como x² es una función par: = + = 2  = 

c) = 3 = 8

d) = -  = - 

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ÁREA DE REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) £ f(x) " x Î [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es 

Demostración: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho D x y dibujamos un rectángulo representativo de alto f(x_i) - g(x_i) donde x está en el i-ésimo intervalo.

Área del rectángulo i = [f(x_i) - g(x_i)] D x

Sumando las áreas y considerando que el número de rectángulos tiende a infinito resulta que el área total es

Como f y g son continuas en el intervalo, la función diferencia f - g también los es y el límite existe.

Por lo tanto el área es área =  = 

E s importante darse cuenta que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g sean continuas y de que g(x) £ f(x). Las gráficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto del eje x.

Integración respecto al eje y

Si algunas regiones están acotadas por curvas que son funciones de y o bien se pueden trabajar mejor considerando x como función de y los rectángulos representativos para la aproximación se consideran horizontales en lugar de verticales. De esta manera, si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x = f(y), x = g(y), y = c y la recta horizontal y = d, donde f y g son continuas y f(y) ³ g(y) para c £ y £ d, entonces su área resulta .

A modo de resumen: Área = A =  (en la variable x, se consideran rectángulos verticales) donde a y b son las abscisas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen. Área = A =  (en la variable y, se consideran rectángulos horizontales) donde c y d son las ordenadas de dos puntos de intersección adyacentes de las dos curvas o puntos de las rectas fronteras que se especifiquen.