ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

.

Para encontrar la antiderivada de cualquier función tenemos que contar con un formulario como el siguiente: 

Estas son solo algunas de las fórmulas que existen. Vamos a utilizar la primera de ellas para resolver el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 1

Ahora bien tenemos la siguiente función por resolver  :

Para poder sacar la antiderivada tenemos que realizar lo que nuestra formula nos indica, n es el exponente de la X se le deberá sumar 1 todo eso quedara en el numerador y repetiremos esa suma de n+1 en el denominador.

Nos debe de quedar de la sig. manera: 

Hacemos la suma tanto en denominador como en numerador y nos quedaría de la siguiente manera:

Se divide el número 2 que tenemos el numerador con el 2 que se obtuvo en el denominador:

y por ultimo nos quedaría asi :

Pero nunca debemos olvidar agregar en forma de suma una letra C de lo contrario estará mal, debemos hacerlo de la siguiente manera y así concluye:

EJEMPLO 2

Bien ahora vamos a sacar la antiderivada de la siguiente función





Para ello necesitamos la siguiente formula, esta nos dice que la integral de sen es - cos y esa parte es muy facil de comprender, pero ¿Qué es esa letra K en la formula?




Bueno como veras en el siguiente ejemplo " K " es la constante que multiplica la X de nuestra función

Por lo tanto aplicando la formula obtendremos el siguiente resultado: