MATEMATICAS II: INTEGRAL INDEFINIDA

1. La integral indefinida

Funciones primitivas

Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F ’=f

Ejemplo 1. Si f(x)= 3x² una primitiva es F(x)= x³. Otra G(x)= x³+7

Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.

En efecto ya que (F+C)’=F’+C’= F’ +0= f

Proposición.2.Si una función f tiene derivada nula en un intervalo entonces f es constante. (se admite sin demostración)

Teorema. Si F₁ y F₂ son primitivas de f, entonces se diferencian en una constante, es decir F₁= F₂+C

Demostración

Si F₁ es primitiva de f Þ F₁’(x)= f(x); si F₂ es primitiva de f Þ F₂’(x)= f(x)

Luego F₁’(x)- F₂’(x)= 0 Þ F₁-F₂= C

Consecuencia. Dada una primitiva F de f, el conjunto de sus primitivas es F+C. A dicho conjunto se le llamará la integral indefinida de f y se escribirá ó .

A f(x) se le llama integrando y al símbolo , símbolo de integración.

Propiedades de la integral indefinida (Linealidad)

Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas

Es consecuencia de que si F es primitiva de f Þ kF es primitiva de kf, pues (kF)’= kF’= kf

2. Integrales inmediatas

Tabla de primitivas (hacerla teniendo en cuenta la de derivadas y su relación)

Integrales inmediatas (o casi inmediatas)

Llamamos así a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.

Ejemplo 2. a) ; b)

Ejercicio 1. Calcula las siguientes integrales inmediatas:

a) ; b) ; c) ; d)

3. Métodos de Integración

I). Método de descomposición

Se basa en la linealidad de la integral indefinida

Ejemplo.3 =+C

Ejercicio.2. Calcula .

II). Integración por partes.

Se basa en la fórmula de la derivación de un producto.

(u.v)’ = u’.v +v’.u

Como , se tiene:

o utilizando diferenciales:

Ejemplo 4.

Tomamos:

de donde: =

Ejercicio.3. Calcula

III) Integración por sustitución o cambio de variable.

Proposición. Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

Demostración

Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F’(x)=f(x) y h’(x)=F’(u(x)).u’(x) =f(u(x)).u’(x), usando la regla de la cadena, luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u’(x).

Ejemplo 5. I=.

Hacemos u=x³-1du=3x²dx y sustituyendo

Ejercicio 4. Calcula

Nota. Teniendo en cuenta la proposición anterior se puede ampliar la tabla de derivadas a funciones compuestas (hacerlo)

Ejemplo 6.

Ejercicio 5. Calcula

IV). Integración de funciones racionales

Son de la forma donde P y Q son polinomios.

El método para calcular este tipo de integrales supone que el grado del numerador es menor que el del denominador, luego en primer lugar, si esto no ocurre hay que hacer la división.

, es decir y como

, el problema queda reducido al de calcular , y aquí siempre se verifica grad R(x)< grad Q(x)

Ejemplo 7. =

Nota. Estudiaremos únicamente el caso en que el denominador tiene todas las raíces reales y distintas.

Si x₁, x₂, ......x_n son las raíces de Q(x) se verifica:

donde A₁, A₂,....., A_nson númerosrealesque hay que determinar

Ejemplo 8. Consideremos

Igualando a cero el denominador:

Las raíces son 0 y

Luego descomponiendo la fracción en fracciones simples, se tiene:

y se trata de calcular estas constantes.

Se tiene, efectuando la suma e igualando los numeradores,

x+1= A₁(x-2)(x+3)+A₂x (x+3)+ A₃x(x-2)

Teniendo en cuenta que los dos polinomios son iguales, tomarán los mismos valores en todos los puntos, en particular:

Para x=0 0+1=A₁(-2)(3)A₁=-1/6

Para x=2 2+1= A₂.2.5 A₂ =3/10

Para x=-3 -3+1=A₃(-3)(-5) A₃=-2/15

Luego =

Nota. Para el cálculo de las constantes hay otro método más general, el de los coeficientes indeterminados, pero en el caso de las raíces simples y distintas este es mejor.