MAXIMOS Y MINIMOS DE 2 VARIABLES

Dado un campo escalar f: D  R

2

 R, D abierto y (x0, y0)  D.

 Se dice que (x0, y0) es un punto crítico o estacionario de f si f (x, y) es diferenciable y

( , ) (0, 0) df x0

y0   ( , ) (0, 0) f x0

y0   ( , ) 0 f

x

x0

y0  y f

y

(x0

, y0

)  0 .

El punto (x0, y0, f (x0, y0)) se llama punto crítico o estacionario de la superficie. El plano

tangente en un punto crítico es horizontal.

Generalmente los puntos estacionarios de una superficie se clasifican en máximos, mínimos y

puntos de silla.

 Una función f tiene un mínimo local en (x0, y0) si ( , ) ( , )

0 0

f x y  f x y , para todo (x, y)

perteneciente a un entorno de (x0, y0). El número ( , )

0 0

f x y es el mínimo de f en ese entorno.

 Una función f tiene un máximo local en (x0, y0) si ( , ) ( , )

0 0

f x y  f x y , para todo (x, y)

perteneciente a un entorno de (x0, y0). El número ( , )

0 0

f x y es el máximo de f en ese entorno.

Los máximos y los mínimos se llaman óptimos locales o relativos.

 Una función f tiene un punto de silla en (x0, y0) si todo entorno de (x0, y0) contiene puntos

(x, y) tales que ( , ) ( , )

0 0

f x y  f x y y otros para los que ( , ) ( , )

0 0

f x y  f x y .

Ejemplos:

a) La función 2 2

f (x, y)  x  y tiene un mínimo en el punto (0, 0). El valor de f (x, y)  0

para todo punto de un entorno de (0, 0).

Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: f x y x x

( , )  2 y f x y y y

( , )  2 se anulan a

la vez en el punto (0, 0). El plano z = 0 es tangente a ella en el punto (0, 0, 0).

b) La función 2 2

f (x, y)  2  x  y tiene un máximo en el punto (0, 0). El valor de

f (x, y)  2 para todo punto de un entorno de (0, 0).

Como puede verse, el punto (0, 0) es estacionario: f x y x x

( , )  2 y f x y y y

( , )  2 se anulan

a la vez en el punto (0, 0). El plano z = 2 es tangente a ella en el punto (0, 0, 2).

c) La función 2 2

f (x, y)  x  y tiene un punto de silla en (0, 0). Existen puntos de cualquier

entorno de (0, 0) que hacen que f (x, y)  0 ; y otros que hacen que f (x, y)  0 .

El punto (0, 0) también es estacionario: f x y x x

( , )  2 y f x y y y

( , )  2 se anulan a la vez en

el punto (0, 0).

El plano z = 0, tangente a 2 2

f (x, y)  x  y en el punto (0, 0, 0) atraviesa esa superficie.