EL AREA BAJO LA CURVA

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f(x)= x² + 1 
en el intervalo cerrado [1,5]

   Igual que con el problema de la tangente, empezaremos por hacer aproximaciones. Aproximaremos el área bajo la curva con el área de ciertos rectángulos.

    Observa las siguientes gráficas: 
 

 
    Como pudiste ver en las gráficas anteriores, con los primeros rectángulos estamos sobreestimando el valor del área y con los segundos rectángulos la estamos subestimando.

    A continuación calcularemos aproximaciones cada vez mejores, tomando cada vez más y más rectángulos.

    Observa las siguientes animaciones.
 

    El valor exacto del área es: 
 

	136
Área =		aprox. igual	45.3333
	3

Los resultados anteriores parecen indicar que conforme el número n de rectángulos crece, (n--->), el valor del área de los rectángulos tanto por la izquierda como por la derecha se acercan a un mismo número. Vamos a cuantificar y a formalizar las ideas expuestas anteriormente. 
 
 

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:     Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.  En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.  Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:  n [ f(x*)(x)] k=1        A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann.

Definimos el área bajo la curva como: Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.

   Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n-->, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva. 
 

f(x)= x2 + 1   5-1  4   x=   =  n n     x0=  1 x1=  1 + x  =  1+  4  n x2=  1 + 2x = 1 + 2( 4 ) n (...) 4 xk= 1 + kx = 1 + k( ) n       Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que     4k xk* = xk = 1+  n     4k 1 + (1 +  4k )2 f(xk*) =  f( 1 +  ) =  n n [ 4k ](4/n) f(xk*) x = 1 +(1+ )2 n Desarrollando la expresión anterior, nos queda:    8(17n2 + 18n + 4) La suma de Riemann =  3n2 136 48 32 La suma de Riemann =   +   +  3 n 3n2 136 Area = Límite de la suma de Riemann =  3